Model ARMAX

Model ARMAX (ang. AutoRegressive Moving Average with eXogenous input, model autoregresywny ze średnią ruchomą i zewnętrznym wejściem) – w automatyce, dyskretny model wejściowo-wyjściowy dla procesów stochastycznych. Model ten jest wyrażony wzorem:

${\displaystyle y(i)=z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}\,u(i)+{\frac {C(z^{-1})}{A(z^{-1})}}\,e(i).}$

Znaczenie poszczególnych symboli w powyższym wzorze jest następujące:

• ${\displaystyle y(i),}$ ${\displaystyle u(i)}$ oraz ${\displaystyle e(i)}$ – dyskretne ciągi wartości, a zatem ciągi wartości równo odległych w czasie (na przykład 0; 0,5; 1; 0; −0.5; ... itd.),
• ${\displaystyle y(i)}$ – ciąg wartości sygnału wyjściowego – w skrócie ciąg wyjściowy lub wyjście,
• ${\displaystyle u(i)}$ – ciąg wartości sygnału wejściowego – w skrócie ciąg wejściowy, wejście albo pobudzenie,
• ${\displaystyle z^{-k}}$ – opóźnienie (przesunięcie wstecz) sygnału o ${\displaystyle k}$ wartości, tak że ${\displaystyle z^{-k}u(i)=u(i-k);}$ parametr ${\displaystyle k}$ jest zwany (dyskretnym) czasem opóźnienia i przybiera wartości całkowite większe lub równe 1,
• ${\displaystyle A(z^{-1}),\ B(z^{-1})}$ i ${\displaystyle C(z^{-1})}$ – wielomiany różnicowe (patrz poniżej),
• człon ${\displaystyle z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}u(i)}$ – tor sterowania,
• ${\displaystyle e(i)}$ – ciąg wartości dyskretnego białego szumu zakłócającego obiekt (w skrócie szum biały),
• człon ${\displaystyle {\frac {C(z^{-1})}{A(z^{-1})}}e(i)}$ – tor zakłócenia, modeluje wszelkie niemierzalne zakłócenia stochastyczne działające w obiekcie w postaci białego szumu przefiltrowanego (czyli przepuszczonego) przez odpowiednią transmitancję.

Wielomiany różnicowe występujące w modelu ARMAX dane są wzorami:

${\displaystyle A(z^{-1})=1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\ldots +a_{dA}z^{-dA},}$

${\displaystyle B(z^{-1})=b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\ldots +b_{dB}z^{-dB},}$

${\displaystyle C(z^{-1})=c_{0}+c_{1}z^{-1}+c_{2}z^{-2}+\ldots +c_{dC}z^{-dC}.}$

Wartości ${\displaystyle a_{j},\,b_{j}}$ i ${\displaystyle c_{j}}$ zwane są parametrami wielomianów, a wartości ${\displaystyle dA,\,dB}$ i ${\displaystyle dC}$ stopniami wielomianów. O wielomianie ${\displaystyle A(z^{-1})}$ mówi się, że jest on wielomianem monicznym, co oznacza, że parametr ${\displaystyle a_{0}}$ tego wielomianu zawsze ma wartość równą 1.

Strukturę modelu ARMAX określają cztery parametry:

${\displaystyle k,dA,dB,dC.}$

Inne rodzaje modeli wykorzystywanych w identyfikacji:

• model AR, model ARX, model ARMA, model ARIMA,
• model MA, model MAX.

• modele parametryczne