Model AR

Model AR, model autoregresyjny (ang. autoregressive model, AR model) – parametryczny model szeregu czasowego (pewna realizacja procesu losowego), który często używany jest do modelowania i predykcji zjawisk naturalnych różnego typu. Model autoregresyjny to jedna z formuł predykcji liniowej – formuły takie dokonują predykcji wyjścia układu na podstawie wartości wejść z przeszłości.

Notacja ${\displaystyle AR(p)}$ wskazuje, że chodzi o model autoregresyjny rzędu ${\displaystyle p.}$ Model ${\displaystyle AR(p)}$ definiuje się jako:

${\displaystyle X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t},}$

gdzie:

${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{p}}$ – parametry modelu,

${\displaystyle c}$ – stała (dla uproszczenia często pomijana),

${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ – biały szum.

Model autoregresyjny może być traktowany jako wyjście filtru o nieskończonej odpowiedzi ze wszystkimi biegunami, na którego wejście podawany jest szum biały. Aby model taki był stacjonarny w szerokim sensie, na wartości parametrów tego modelu należy nałożyć pewne warunki. Na przykład proces z modelem ${\displaystyle AR(1),}$ gdy ${\displaystyle |\varphi _{1}|\geqslant 1,}$ nie jest stacjonarny. Mówiąc ogólniej, aby model ${\displaystyle AR(p)}$ był stacjonarny w szerokim sensie, pierwiastki wielomianu ${\displaystyle \textstyle z^{p}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}z^{p-i}}$ muszą leżeć wewnątrz okręgu jednostkowego, to znaczy każdy pierwiastek ${\displaystyle z_{i}}$ musi spełniać warunek ${\displaystyle |z_{i}|<1.}$

Model MA i model AR są dualne (względem siebie) – każdy proces opisany modelem AR o skończonym rzędzie można opisać modelem MA o nieskończonym rzędzie (i odwrotnie).

Inne rodzaje modeli wykorzystywanych w identyfikacji:

• model ARX, model ARMAX, model ARMA, model ARIMA,
• model MA, model MAX.

• autoregresja
• modele parametryczne